PERIODOGRAMA


    El espectro de potencia de un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio (WSS) es la transformada de Fourier de la secuencia de autocorrelación:

    De esta forma, la estimación espectral puede considerarse como un problema de estimación de la autocorrelación.
    Para un proceso ergódico en autocorrelación y una cantidad ilimitada de datos, la secuencia de autocorrelación puede ser obtenida mediante el promedio temporal:

    Pero si la señal x(n) es conocida únicamente en un intervalo finito (para n = 0, 1, ..., N-1), entonces la secuencia de autocorrelación se ha de estimar mediante una suma finita:

    Con el fin de asegurar que los valores de x(n) fuera del intervalo [0, N-1] están excluidos del sumatorio, escribimos la ecuación anterior de la forma siguiente:

para valores negativos de k, se aplica la propiedad de simetría conjugada:

y para valores fuera del intervalo [-N+1, N-1], se iguala a cero:

    Aplicando la transformada de Fourier a la secuencia de autocorrelación calculada, obtenemos el estimador espectral de potencia denominado Periodograma:

    En ocasiones, puede resultar más conveniente expresar el Periodograma en función del proceso x(n). Supongamos que xN(n) es una secuencia de longitud N, igual a x(n) en el intervalo [0,N-1], y cero fuera de este intervalo.
 
 

xN(n)   = 

 x(n) ;       0 <= n <= N-1

 0     ;   para otros valores 

De esta manera, podemos considerar xN(n) como el producto de x(n) con una ventana rectangular wR(n):

Y en términos de xN(n), podemos expresar la secuencia de autocorrelación estimada como:

Tomando la transformada de Fourier y aplicando el teorema de la convolución, el periodograma  adquiere la forma:

donde XN(ejw) es la transformada discreta de Fourier de la secuencia xN(n):

    Así, el periodograma es proporcional al cuadrado de la transformada discreta de xN(n), y puede calcularse fácilmente de la siguiente manera:

    El periodograma presenta una interesante interpretación en términos de un banco de filtros paso-banda, donde la estimación espectral de potencia de cada frecuencia wi se obtiene a partir de la potencia de cada proceso filtrado por el banco de filtros.

    Para concluir nuestro estudio del periodograma, resumimos algunas de sus propiedades, como son el sesgo o bias, la resolución y la varianza:


 


    Ejemplos

1.-  Periodograma de Ruido Blanco
2.-  Periodograma de una Sinusoide en Ruido Blanco
3.-  Resolución del Periodograma
4.-  Periodograma de Ruido Blanco: estudio de varianza y sesgo

    Componente Peridograma

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