Periodograma

PERIODOGRAMA:

BANCO DE FILTROS PASO-BANDA

Supongamos que h_i(n) es un filtro FIR de longitud N definido de la siguiente manera:

h_i(n) = (1/N)e^jnwiw_R(n) =

(1/N)e^jnwi ; 0 <= n <= N - 1

0 ; para otros valores

Es un filtro paso banda con frecuencia central w_i y ancho de banda aproximadamente igual a Dw = 2p/N, de respuesta frecuencial:

Si se filtra un proceso aleatorio WSS x(n) con h_i(n), el proceso de salida resultante es:

Puesto que |H_i(e^jwi)|_w=wi=1, los espectros de potencia de x(n) y de y(n) son iguales a la frecuencia w_i. Es decir,

S_x(e ^jwi) = S_y(e ^jwi)

Si el ancho de banda del filtro es lo suficientemente pequeño para que el espectro de x(n) pueda ser considerado aproximadamente constante en la banda de paso del filtro, entonces, la potencia de y_i(n) se puede aproximar por:

y, por tanto,

Así, si podemos estimar la potencia de y_i(n), obtendremos la estimación del espectro de potencia en la frecuencia w_i como:

Una forma muy sencilla, aunque burda, de estimar la potencia es utilizar un promedio de una sola muestra (es decir, el valor instantáneo):

Y sustituyendo en la expresión de y_i(n), para n = N-1, obtenemos

Con

podemos expresar el periodograma:

De esta manera, el periodograma puede interpretarse como una estimación del espectro de potencia utilizando un banco de filtros paso-banda de banda estrecha.