MÉTODOS NO PARAMÉTRICOS:

COMPARACIÓN DE PRESTACIONES

En los métodos no paramétricos, existe un compromiso entre resolución y varianza. Ahora caracterizaremos las prestaciones de cada método atendiendo a dos nuevos criterios:

Variabilidad del estimador, que es una varianza normalizada.

Figura de mérito, definido como el producto de la variabilidad por la resolución.

Esta figura de mérito debería ser lo menor posible, y, como vamos a descubrir, va a ser aproximadamente igual para todos los métodos no paramétricos.

Periodograma

El periodograma es asintóticamente insesgado, y para valores altos de N, la varianza es aproximadamente igual a S_x²(e^jw). Por tanto, asintóticamente, la variabilidad del periodograma es igual a uno,

Como la resolución del periodograma es Dw = 0.89 (2p / N), la figura de mérito resulta

que es inversamente proporcional a la longitud de los datos, N.

Método de Bartlett

En este método, se consigue una reducción en varianza a través del promediado de periodogramas. Con N = KL, si N es suficientemente alto, la varianza se puede aproximar por

y la variabilidad

Puesto que la resolución es Dw = 0.89 (2p K / N), la figura de mérito

es la misma que para el periodograma.

Método de Welch

Las propiedades estadísticas del método de Welch dependen del overlap utilizado. Consideraremos un overlap del 50% y una ventana de Bartlett.
Para un N elevado, la variabilidad es, aproximadamente,

El ancho de banda a 3 dB en una ventana de Bartlett de longitud L es 1.28 (2p / L), por lo que la resolución es

Dw = 1.28(2p K / N)

y la figura de mérito resulta ser

Método de Blackman-Tukey

En este método la varianza depende de la ventana utilizada, y para nuestro estudio, vamos a considerar una ventana de Bartlett de longitud 2M, con N M 1. Con estos supuestos, la varianza del estimador Blackman-Tukey es

Por tanto, la variabilidad

Puesto que el ancho de banda a 3 dB de la ventana de Bartlett de longitud 2M es igual a 1.28 (2p / 2M), la resolución es

Dw = 0.64(2p / M)

Y la figura de mérito queda

que es ligeramente inferior a la figura de mérito del método anterior.

Observamos que las figuras de mérito son similares en todos los métodos, y estos parámetros son inversamente proporcionales a la longitud de la secuencia de datos, N. Así, aunque cada método difiera en resolución y varianza, las prestaciones están limitadas por la cantidad de datos.

Para concluir, resumimos las prestaciones de los métodos no paramétricos:

Método no paramétrico	Variabilidad	Resolución	Figura de Mérito
Periodograma	1	0.89 (2p / N)	0.89 (2p / N)
Bartlett	1 / K	0.89 K (2p / N)	0.89 (2p / N)
Welch	9 / (8K)	1.28 (2p / L)	0.72 (2p / N)
Blackman-Tukey	2M / (3N)	0.64 (2p / M)	0.43 (2p / N)

Para el método de Welch se ha supuesto una ventana de Bartlett de longitud L y un overlap del 50%, y en el método de Blackman-Tukey la ventana utilizada es de Bartlett con longitud 2M.