BLACKMAN - TUKEY:

    Blackman y Tukey, en 1958, propusieron y analizaron un método en que primero se enventana la secuencia de autocorrelación y después se calcula su transformada de Fourier para producir una estimación del espectro. La razón para enventanar la secuencia de autocorrelación r_x(k) es que, para retardos grandes, las estimaciones son menos fiables porque se usan menos puntos en la estimación (N-k). Para valores de k cercanos a N, la varianza de estas estimaciones es muy grande, por lo que deberían tener un menor peso. Por ejemplo, para el retardo k = N-1, la estimación de r_x(k)

consta de una sola muestra, lo que da una medida de la varianza poco fiable.
 

    El estimador de Blackman-Tukey es:

donde w(k) es la ventana aplicada para reducir la contribución al periodograma de las estimaciones menos fiables. Se extiende desde -M hasta M, con M < N-1. De esta manera, las estimaciones de r_x(k) con mayor varianza son puestas a cero y, por tanto, la estimación espectral de potencia tendrá una varianza menor.
    Con esta definición para w(k), los límites del sumatorio anterior se pueden extender desde menos infinito a más infinito. Consecuentemente, la expresión equivalente en el dominio frecuencial para el estimador de Blackman-Tukey es:

    El efecto del enventanado de la secuencia de autocorrelación se refleja en un suavizado de la estimación del periodograma, decreciendo, así, la varianza de la estimación espectral a expensas de la reducción en resolución.

    Aunque existe una considerable flexibilidad en la elección de la ventana, w(k) debe poseer simetría conjugada para que W(e^jw)  sea real y asegurar así que la estimación es real. Además, la ventana debería tener una transformada de Fourier no negativa, W(e^jw) =0, para que la estimación realizada sea no negativa.
 

    Analicemos las prestaciones de este método. Comenzamos con el sesgo, calculando el valor esperado de la estimación:

    Sustituimos el valor esperado del periodograma y tenemos

o, equivalentemente,

    Si permitimos que w_BT(k) = w_B(k)w(k) sea la ventana combinada aplicada a la secuencia de autocorrelación r_x(k), utilizando el teorema de convolución en frecuencia, obtenemos:

    Si asumimos que M << N, entonces podemos aproximar w_B(k)w(k) por w(k), con lo que finalmente llegamos a la expresión:

donde W(e^jw) es la transfomada de Fourier de la ventana w(k).

    El cálculo de la varianza requiere un proceso de cálculo  más complicado. La expresión final obtenida es la siguiente:

para N>>M>>1.

    Observamos un compromiso entre bias y varianza. Si queremos obtener un sesgo pequeño, deberíamos elegir un valor de M grande, para minimizar la anchura del lóbulo principal de W(e^jw) (y obtener una resolución aceptable), pero la varianza sería elevada, según nos demuestra la fórmula anterior, ya que M determina el número de términos utilizados en el sumatorio. Generalmente, se recomienda un valor máximo de M = N / 5.
 

    A continuación, resumimos las propiedades del método de Blackman-Tukey:

Sesgo o bias:

Resolución: dependiente de la ventana.

Varianza:

    Componente Blackman-Tukey