Welch

WELCH:

PROMEDIADO DE PERIODOGRAMAS MODIFICADOS

Welch, en 1967, propuso dos modificaciones al método de Bartlett.

En primer lugar, permitió el solapamiento de segmentos de datos. Este efecto se conoce como overlap.
Suponiendo que entre dos secuencias sucesivas existe un desplazamiento de D puntos y que cada secuencia consta de L puntos de longitud, la secuencia i-ésima viene determinada por la expresión:

x_i(n) = x(n + iD) ; n = 0, 1, ..., L-1

El solapamiento entre dos secuencias consecutivas x_i(n) y x_i+1(n) es de L-D puntos, y si las K secuencias cubren una longitud de N puntos, entonces:

N = L +D(K-1)

Supongamos que no existe solape entre las secuencias (D = L); tendremos K = N/L secciones de longitud L, como en el método de Bartlett. Si permitimos que las secuencias posean un solape del 50% (D = L/2), el número de secciones K de longitud L es:

K = 2N/L - 1

De esta manera, se mantiene la resolución (la longitud de la secuencia no varía) del método de Bartlett, pero al doblar el número de periodogramas modificados que van a promediarse, se reduce la varianza.

Con un 50% de solape entre las secuencias, también podemos formar K secuencias de longitud 2L, donde K es:

K = N/L - 1

Así, mejoramos la resolución manteniendo la misma varianza que en el método de Bartlett.

Con el overlap o solapamiento es posible incrementar el número y/o la longitud de las secuencias que van a ser promediadas, logrando de esta forma una reducción en la varianza, siempre con un compromiso en la resolución del método de estimación espectral.

La segunda propuesta consiste en enventanar cada secuencia x_i(n) con una ventana general w(n) (no sólo con la ventana rectangular), antes de calcular el periodograma. De esta manera se obtiene un periodograma modificado por cada secuencia enventanada:

El estimador de Welch es el promedio de los periodogramas modificados:

y su expresión general es:

donde U:

Vamos a examinar las prestaciones del método de Welch.

Obtenemos la expresión del valor medio:

donde W(e^jw) es la transformada de Fourier de la ventana w(n) de L puntos, utilizada para formar los periodogramas modificados. Observamos que el método de Welch es asintóticamente no sesgado. La resolución depende de la ventana utilizada, y se define para el ancho de banda a 3 dB de dicha ventana. La varianza es difícil de calcular, pues el overlap no permite realizar la suposición de operar con secuencias incorreladas. De todas formas, para una ventana de Bartlett, con un solapamiento del 50%, se demuestra que la varianza es, aproximadamente:

Comparando con el método de Bartlett,

observamos que, para un número dado de secciones K, la varianza con el método de Welch es mayor que con el método de Bartlett en un factor 9/8. No obstante, para unos valores fijos de datos, N, y resolución (longitud de la secuencia L), con un 50% de solapamiento, se obtiene el doble de secciones para promediar en el método de Welch. Si expresamos la varianza en términos de L y N, con ese 50% de overlap, tenemos:

y como N/L es el número de secciones utilizadas en el método de Bartlett, obtenemos la siguiente relación:

Resumiendo, es posible incrementar el número de secuencias a promediar para una cantidad fija de datos, incrementando el overlap, pero esto supone una mayor carga computacional, así como un aumento en la correlación de las secuencias x_i(n), por lo que las prestaciones disminuyen al incrementar K para un valor dado de N. Solapes típicos son 50% y 75%.

Propiedades del método de Welch:

Sesgo o bias:

Resolución: depende de la ventana utilizada.

Varianza (con 50% de solape y ventana de Bartlett):

Ejemplos

1.- Método de Welch: estimación de dos sinusoides en ruido blanco

Componente Welch

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