PERIODOGRAMA MODIFICADO

    El periodograma modificado tiene por objetivo solucionar el problema de enmascaramiento espectral producido por el periodograma, ocasionado por la gran amplitud de los lóbulos secundarios de la ventana rectangular. Para ello, propone enventanar el proceso con una ventana general w(n).  El periodograma modificado se expresa según la ecuación:

donde N es la longitud de la ventana, y

U es una constante definida de forma que el periodograma modificado resulte asintóticamente no sesgado.

    Vamos a evaluar las prestaciones de este método de estimación espectral. El valor esperado del periodograma modificado es:

donde W(e^jw) es la transformada de Fourier de la ventana. Con

entonces

y, con la ventana apropiada, |W(e^jw)|²/NU converge a un impulso de área unidad con N  tendiendo a infinito. De esta manera, el periodograma modificado, es asintóticamente no sesgado. (Lógicamente, si w(n) es una ventana rectangular, U =1 y el periodograma modificado se reduce al periodograma).
 

    El periodograma modificado es simplemente el periodograma de una secuencia de datos enventanados, por tanto, la varianza del periodograma modificado es aproximadamente igual a la del periodograma, es decir:

        Y como la varianza del periodograma modificado no tiende a cero al crecer N, no es un estimador consistente del espectro de potencia. Por tanto, el enventanado no ofrece beneficio en cuanto a una reducción en la varianza. La ventana proporciona un compromiso entre la resolución (anchura del lóbulo principal) y el enmascaramiento espectral (amplitud de lóbulos laterales). Supongamos que definimos la resolución del periodograma modificado como el ancho de banda a 3 dB de la ventana de datos:

    Veamos  las características de las ventanas utilizadas:
 

    Podemos observar una reducción en la amplitud del lóbulo secundario, producida al aplicar una ventana diferente a la rectangular, pero el valor de la resolución crece, es decir, aumenta la separación mínima entre componentes espectrales que vamos a ser capaces de discriminar.

    Por último, resumimos las propiedades del periodograma modificado:

Sesgo o bias:

Resolución: dependiente de la ventana utilizada.

Varianza:

        1.- Comparación Periodograma - Periodograma Modificado

    Componente Peridograma Modificado 

Volver al temario