ESPECTRO DE POTENCIA


    Un proceso aleatorio es una colección de señales en tiempo discreto, por tanto, no podemos calcular la transformada de Fourier del proceso en sí mismo. Pero podemos obtener una representación del proceso en el dominio de la frecuencia si expresamos la transformada de Fourier en términos de un promedio del conjunto de realizaciones.
    La secuencia de autocorrelación de un proceso estacionario en sentido amplio (WSS) proporciona una descripción en el dominio del tiempo del momento de segundo orden del proceso. Como rx(k) es una secuencia determinista, podemos calcular la transformada de Fourier en tiempo discreto,

    Esta expresión determina el espectro de potencia o densidad espectral de potencia del proceso. Conocido el espectro de potencia, podemos obtener la secuencia de autocorrelación mediante la transformada inversa:

    Por tanto, el espectro de potencia proporciona una descripción en el dominio de la frecuencia del momento de segundo orden del proceso. En ocasiones puede resultar conveniente utilizar la transformada-z en lugar de la transformada de Fourier en tiempo discreto,

    A Px(z) también se le denomina espectro de potencia de x(n).


     A continuación se enumeran las propiedades del espectro de potencia.
 

1.- Simetría.    Puesto que la secuencia de autocorrelación de un proceso aleatorio WSS posee simetría conjugada, el espectro de potencia es una función real de w. Si el proceso es real, la secuencia de autocorrelación es real y par, lo que implica que el espectro de potencia es real y par.
    El espectro de potencia de un proceso aleatorio WSS x(n) es real, Px(ejw) = Px*(ejw),  y  Px(z) satisface la condición de simetría
    Si x(n) es real, entonces el espectro de potencia es par, Px(ejw) = Px(e-jw), lo que implica
 
2.- Positividad. El espectro de pontencia de un proceso aleatorio WSS es no negativo
 
3.- Potencia total. La potencia de un proceso aleatorio WSS de media cero es proporcional al área bajo la curva de densidad espectral de potencia
 
4.- Propiedad de autovalores. Los autovalores de la matriz de autocorrelación de dimensiones N x N de un proceso aleatorio WSS de media cero están limitados por los valores máximo y mínimo del espectro de potencia,


    El espectro de potencia también puede relacionarse con el promedio de magnitudes de Fourier al cuadrado, |X(ejw|2. Consideramos

    (Ec. 1)

que es proporcional  al cuadrado de la magnitud de la transformada de Fourier en tiempo discreto de 2N + 1 muestras de una realización dada de un proceso aleatorio. Puesto que, para cada frecuencia w, PN(ejw) es una variable aleatoria, si tomamos el valor esperado obtenemos

    (Ec. 2)

    Con la sustitución k = n - m, tenemos

    (Ec. 3)

    Suponiendo que la secuencia de autocorrelación decae a cero lo suficientemente rápido para considerar

    (Ec. 4)

podemos tomar el límite de Ec. 3 con N tendiendo a infinito, y

    (Ec. 5)

    Combinando Ec. 1  y  Ec. 5 obtenemos

    Por tanto, el espectro de potencia puede ser visto como el valor esperado de PN(ejw) en el límite cuando N tiende a infinito.
 
 


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