La densidad espectral de potencia de un proceso puede expresarse de forma general como

donde

es la parte continua del espectro, y

corresponde a la parte discreta.

    Comenzamos con la parte continua del espectro

    En primer lugar, evaluamos si se cumple la condición de Paley-Wiener:

    Si se cumple esta condición necesaria y suficiente, podemos factorizar la parte continua del espectro de la forma siguiente:

donde

- K₀ es una constante positiva.
- H_min(z) es un filtro causal y estable de fase mínima (sus polos y ceros se encuentran dentro de la circunferencia unidad). Tiene inversa causal y estable.
- H_min*(1/z*)  responde a la parte anticausal. Es un filtro de fase máxima.

    Podemos enunciar las siguientes propiedades de un proceso regular:

• Un proceso regular puede obtenerse filtrando ruido blanco v(n) de varianza K₀ con un filtro causal y estable (H_min(z) ) . Este filtro se denomina correlador, pues añade correlación a la secuencia de entrada incorrelada, el ruido.
• El filtro inverso ( 1/H_min(z) ) es un filtro blanqueador, es decir, si x(n) es filtrado con 1/H_min(z), la salida es ruido blanco de varianza K₀.
• Dado que v(n) y x(n) están relacionados por una transformación invertible, un proceso puede obtenerse a partir del otro. En consecuencia, ambos contienen la misma información.

    Consideramos ahora la parte discreta de la densidad espectral

    Según el teorema de Descomposición de Wold, un proceso aleatorio general puede ser descrito como suma de dos procesos,

donde x_r(n) es un proceso aleatorio regular y x_p(n) un proceso predecible, siendo x_r(n) ortogonal a x_p(n),

E{x_r(m)x_p^*(n)} = 0

    Supongamos que queremos estimar el valor de una muestra de un proceso en el instante n, utilizando las muestras anteriores de dicho proceso

obtenemos así un error, diferencia entre el valor real y el estimado:

    Decimos que un proceso es predecible si la potencia del error

es igual a cero   s_e² = 0.

    Un proceso estocástico se puede predecir si y sólo si su densidad espectral es la forma:

    Esta densidad de potencia está relacionada con procesos periódicos

donde a_i = |a_i| e^jfi;   |a_i|  y fi son variables aleatorias.

    Para que el proceso sea predecible, se ha de cumplir

    Consideramos un filtro de la forma

por lo que la densidad espectral de potencia del error es

    Los ceros del filtro coinciden con las frecuencias de las deltas del espectro predecible.

    Podemos obtener la factorización siguiente

con K₀ = 1. Como existe esta factorización espectral, se ha de cumplir la condición de Paley-Wiener para G(e^jw)

lo que significa que G(e^jw) no puede ser cero, excepto en unos puntos, para que la integral no sea infinita. Por el contrario, para obtener potencia de error cero, S_x^p(e^jw) si puede ser cero excepto en unos puntos concretos, pues no tiene porqué cumplir la condición anterior.

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