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PROBLEMAS DE TRATAMIENTO DIGITAL DE LA SEÑAL


Problemas Tema CARACTERIZACION DE SECUENCIAS ALEATORIAS

 

1.
Para modelar los efectos de redondeo y truncado, las variables cuantificadas se pueden representar como $y[n]=Q{x[n]}=x[n]+e[n]$, donde Q[n] representa el redondeo o el truncado, y e[n] es el error de cuantificación. Con las hipótesis adecuadas, es razonable suponer que la secuencia e[n] es ruido blanco, es decir
begin{displaymath}E{(e[n]-m_e)(e[n-k]-m_e)^*)}=sigma_e^2 delta[k] end{displaymath}
En la figura se muestran las funciones de densidad de probabilidad del error e[n] de redondeo (a) i de truncado (b).


Se pide:
a) Determinar la media y la varianza para el ruido debido al redondeo.
b) Determinar la media y la varianza para el ruido debido al truncado.
2.
Sea el proceso
begin{displaymath}x[n]=sum_{i=1}^L A_i sin (2pi f_i n + theta_i) + w[n] end{displaymath}
donde las fases iniciales son variables aleatorias independientes uniformente distribuidas en el intervalo $[0, 2pi )$y w[n] es ruido blanco de varianza $sigma_w^2$. Calcular la secuencia de autocorrelación.
3.
Sea x[n] un proceso estocástico discreto real estacionario de media mx y secuencia de autocorrelación rx[k]. Sea y[n] la salida a x[n] de un sistema lineal e invariante de respuesta impulsional h[n]. Se pide:
a) Justificar razonadamente que y[n] es un proceso estocástico discreto estacionario.
b) Determinar la expresión de la media my del proceso y[n] en términos de mx y de h[n].
c) Determinar las expresiones de las secuencias de autocorrelación cruzadas de los procesos x[n] e y[n], es decir, rxy[k], ryx[k] en términos de rx[k] y h[n].
d) Determinar las expresiones de las secuencias de autocorrelación del procesos y[n], ry[k], en términos de ryx[k]. Sustituyendo ryx[k] por la expresión obtenida en c), expresar ry[k] en términos de rx[k] y de h[n].
e) Aplicando la transformada de Fourier a la expresión obtenida en el apartado anterior, encontrar la densidad espectral de potencia del proceso y[n], $S_y(omega)$, en términos de la densidad espectral de potencia del proceso x[n], $S_x(omega)$, y de la respuesta frecuencial del sistema $H(e^{jomega})$.
4.
Sea x[n] una secuencia de ruido blanco, con media nula y varianza $sigma_w^2$. Sea x[n] la entrada a la conexión en cascada de dos sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo como se muestra en la figura.


 
a) ¿Es $sigma_y^2=sigma_x^2 sum_{k=0}^{infty} h_1^2[k]$?
b) ¿Es $sigma_w^2=sigma_y^2 sum_{k=0}^{infty} h_2^2[k]$?
c) Sean $h_1[n]=a^n , u[n]$y $h_2[n]=b^n , u[n]$. Determinar la respuesta impulsional del sistema completo de la figura, y a partir de ella, determinar $sigma_w^2$
d) Si la respuesta dada en el apartado b) ha sido positiva, ¿es consistente con la respuesta dada en c)?
5.
Dado que en muchas aplicaciones las secuencias aleatorias discretas provienen de un muestreo periódico de señales aleatorias analógicas, en este problema se tratará el teorema del muestreo de señales aleatorias. Considérese un proceso estocástico discreto definido por las variables aleatorias ${x_a(t)}$, donde t es una variable continua. La función de autocorrelación se define como
begin{displaymath}R_x(tau) = E{x_a(t+tau) , x_a^*(t) } end{displaymath}
y la densidad espectral de potencia es
begin{displaymath}S_x(Omega)=int_{-infty}^infty R_x(tau) , e^{-jOmega tau} dtau end{displaymath}
Un proceso estocástico discreto obtenido por muestreo periódico se define por el conjunto de variables aleatorias ${x[n]}$, donde x[n]=xa(nT) y T es el periodo de muestreo.
a) ¿Cuál es la relación entre la autocorrelación del proceso discreto rx[k] y $R_x(tau)$?
b) Expresar la densidad espectral de potencia del proceso discreto $S_x(e^{jomega})$en términos de $S_x(Omega)$.
c) ¿Bajo qué condición es $S_x(e^{jomega})$una representación útil de $S_x(Omega)$?
6.
Sea el sistema lineal caracterizado por la ecuación de recurrencia
begin{displaymath}y[n]=0.8 , y[n-1]+x[n]+x[n-1] end{displaymath}
donde x[n] es un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio de media cero y autocorrelación $ r_x[k]=(frac 1 2)^{vert kvert} $
Se pide calcular:
a) La densidad espectral de potencia de la salida y[n].
b) La autocorrelación ry[k] de la salida.
c) La varianza $sigma_y^2$de la salida.
7.
Utilizando la transformada de Fourier, demostrar que la densidad espectral de potencia de la función de correlación exponencial
begin{displaymath}r_x[k]= left{ begin{array}{ll} sigma^2 , rho^k
es
begin{displaymath}S_x(e^{jomega}) = frac { sigma^2 , (1- vertrhovert^2)... ...ertrhovert^2 - 2, vertrhovert cos (omega - arg rho)} end{displaymath}
Hacer de forma análoga con la transformada z para obtener la función densidad espectral compleja. Comprobar su equivalencia particularizando para $ z=e^{jomega} $
8.
Determinar las funciones de densidad espectral de potencia (verificar que son reales y no negativas), las funciones densidad espectral compleja y su región de convergencia para las funciones de correlación siguientes:
a) $ r_x[k] = left{ begin{array}{ll} 3-vert kvert
b) $r_x[k] = 2 , (0,6)^{vert kvert} + delta [k] $
9.
Determinar la función de autocorrelación correspondiente a las siguientes funciones de densidad espectral
a) $S_x(z) = frac {1.5} {z + 2.5 + z^{-1} } $
b) $S_x(z)= frac{40 z} {-99z^2+202z-99} $
c) $S_x(z)= frac{0.6z-2+0.6z^{-1}} {0.6z-1.36+0.6z^{-1}} $
d) $S_x(z)= frac 5 {z^2+ frac 5 2 + z^{-2} }$
e) $S_x(z)= -frac{z-frac {26}{5} +z^{-1}} {z^2 + frac 5 2 + z^{-2}} $
10.
En este problema se va a demostrar que el módulo al cuadrado de la función de coherencia satisface $0 leq vert Gamma_{xy}(e^{jomega}) vert^2 leq 1 $.
a) Definir un proceso aleatorio
begin{displaymath}v[n]=a_1^*,x[n]+a_2^*,y[n]end{displaymath}
donde a1 y a2 son números complejos arbitrarios. Demostrar que su función de correlación viene dada por
begin{displaymath}r_v[k] = left[ begin{array}{ll} a1^*
b) Tomando la transformada de Fourier a esta ecuación y observando que $S_v(e^{jomega}) geq 0$para cualquier elección de a1 y a2, demostrar que la matriz de densidad espectral
begin{displaymath}left[ begin{array}{ll} S_x(e^{jomega})
es semidefinida positiva.
c) Como la matriz de densidad espectral de potencia es semidefinida positiva, demostrar que esto implica que
begin{displaymath}vertGamma (e^{jomega})vert^2 = frac {vert S_{xy}(e^{jomega})vert^2} {S_x(e^{jomega}) , S_y(e^{jomega})} leq 1end{displaymath}
11.
Las secuencias y[n] y u[n] están relacionadas por la ecuación en diferencias
y[n]=u[n+a]-u[n-a]
donde a es una constante. Determinar la función de correlación de y[n] en términos de la de u[n].
12.
Un proceso estocástico real autoregresivo (AR) de orden 1 satisface la relación
begin{displaymath}u[n]+a_1, u[n-1] = w[n]end{displaymath}
donde a1 es una constante, y ${w[n]}$es ruido blanco con $sigma_w^2$. Este proceso se conoce como proceso de Markov de primer orden.
a) Demostrar que si ${w[n]}$tiene media no nula, el proceso AR ${u[n]}$es no estacionario.
b) Para el caso en que ${w[n]}$tiene media nula y la constante a1 satisface la condición $vert a_1vert leq 1$, demostrar que la varianza de ${u[n]}$es
begin{displaymath}Var{u[n]}=frac {sigma_w^2} {1-a_1^2} end{displaymath}
c) Para las condiciones especificadas en b), encontrar la función de autocorrelación del proceso AR ${[u[n]}$. Distinguir los casos $0 leq a_1 leq 1$y $-1 leq a_1 < 0$.
13.
Un sistema lineal se define por la ecuación en diferencias
y[n]=0.7y[n-1]+x[n]-x[n-1]
a) Calcular los primeros 4 valores de ryx[k] si se conoce $r_x=delta[k]$.
b) Determinar rxy[k] para -3<k<3.
c) Determinar $S_y(e^{jomega})$
14.
Un proceso aleatorio x[n] de variables aleatorias independientes con desidad de probabilidad uniforme
begin{displaymath}f_X[x]= left{ begin{array}{ll} frac{1}{2}
Este proceso se aplica a un sistema lineal invariante con respuesta impulsional
begin{displaymath}h[n]= left{ begin{array}{ll} frac{1}{2}^n
Sea el proceso de salida y[n]. a) Calcular ryx[k]. b) Calcular ry[k]. c) Calcular Sy(z) y particularizar para z=ejw.
15.
Sea el proceso aleatorio $x[n]=A cos(pi n/4 + Phi)$donde tanto A como $Phi$son variables aleatorias independientes, $Phi$esta uniformemente distribuida entre 0 y $2pi$, y A es una variable aleatoria de media nula.
a) Calcular la densidad espectral de potencia del proceso.
b) Comprobar que se trata de un proceso predecible.
16.
Factorizar las siguientes densidades espectrales complejas y dibujar el diagrama de polos y ceros.
a)
begin{displaymath}S_x(z)=frac{-16}{12z-25+12z^{-1}} end{displaymath}
b)
begin{displaymath}S_x(z)=-frac{3-10z^{-2}+3z^{-4}}{3+10z^{-2}+3z^{-4}}end{displaymath}
c)
begin{displaymath}S_x(z)=frac{z-2.5+z^{-1}}{z-2.05+z^{-1}}end{displaymath}


17.


18.


 
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