SUPERFICIE DE ERROR

La función de coste que utilizamos en la minimización es el error cuadrático medio definido como

z = E{e(n) e*(n)} que en notación vectorial adquiere la forma z(w) = r_d²(0) - w^Hp - p^Hw +w^HR w donde w es el vector de coeficientes del filtro.

Utilizando las igualdades p = R w_opt y R^H = R, con w_opt el vector óptimo de coeficientes que minimizan el error cuadrático medio, obtenemos que el error cuadrático medio dependiente de w es

z(w) = r_d²(0) - w^HR w_opt- w_opt^HR w +w^HR w - w_opt^HR w + w_opt^HR w

Como el error mínimo es

z _min = r_d²(0) - w_opt^HR w

Sustituyendo obtenemos

z(w) = z_min - w^HR w_opt- w_opt^HR w +w^HR w + w_opt^HR w

z(w) = z_min + (w - w_opt)^HR (w - w_opt)

La función de coste presenta una función cuadrática; es un paraboloide con un mínimo en el valor w = w_opt, como es de esperar, y admite una única solución en el filtrado de Wiener FIR, propiedad que no siempre es compartida por el filtrado IIR.
Existen contornos de igual error cuadrático medio que toman la forma de elipses.

Después de la traslación ocasionada por (w - w_opt), vamos a efectuar una rotación para cambiar los ejes de la representación. Para ello, expresamos la matriz de autocorrelación en términos de sus autovalores y autovectores

R = Q L Q^H

donde L es la matriz diagonal de autovalores l₁, l₂, ..., l_M, y Q es la matriz de autovectores asociados a los autovalores.

Si definimos

Z = Q^H(w - w_opt)

podemos expresar el error cuadrático medio en forma canónica como

z(w) = z_min + Z^HLZ

Los nuevos ejes de la representación los determinan los autovectores de la matriz de autocorrelación R, y la excentricidad de las elipses depende de los autovalores. Así, cuando la distribución de autovalores es uniforme, y éstos son similares, los contornos de igual error se asemejan a circunferencias, y cuanto mayor sea la diferencia entre estos autovalores, más excéntricas serán las elipses.

De este estudio, podemos extraer las siguientes conclusiones:

El error cuadrático medio presenta una forma cuadrática, con un mínimo definido por los coeficientes del vector óptimo de Wiener w_opt.
w - w_optrepresenta la desviación del vector de pesos del filtro respecto al vector de pesos óptimos de Wiener.
Existen contornos de igual error cuadrático medio, con la forma de elipses.
Los autovectores de la matriz de autocorrelación R determinan los ejes de las elipses, y los autovalores indican la excentricidad de dichas elipses.