Volver a filtrado IIR causal

    Ejemplo 1.- Filtrado de Wiener IIR causal.
 

    Supongamos que queremos estimar una señal d(n) a partir de observaciones ruidosas

x(n) = d(n) + v(n)

donde v(n) es ruido blanco de varianza unidad incorrelado con d(n). La señal d(n) es un proceso AR(1) generado por la ecuación

d(n) = 0.8 d(n-1) + w(n)

donde w(n) es ruido blanco de varianza sw2 = 0.36 y  rd(k) = (0.8)|k|.

    Para encontrar el filtro de Wiener causal para la estimación de d(n) a partir de x(n) comenzamos con
 

Sdx(z) = Sd(z)

Sx(z) = Sd(z) + Sv(z) = Sd(z) + 1

    Con

el espectro de potencia de x(n) es

    Como x(n) es real, Px(z) = s02 B(z) B(z-1) con

s02 = 1.6     y  

    En este caso, el filtro de Wiener se encuentra definido por la expresión

    Operando,

    Por tanto,

y el filtro de Wiener queda

y su expresión en tiempo es

h(n) = 0.375 (1/2)n u(n)


    Para finalizar, obtenemos el error cuadrático medio mínimo


    Y lo comparamos con los distintos tipos de filtros de Wiener
 
 

 

FIR

IIR causal

IIR no causal

zmin

0.4048

0.3750

0.3

 

    Como , la estimación de d(n) puede obtenerse de forma recursiva como

    Esta estimación también puede expresarse

y su interpretación es la siguiente:

    El valores la estimación de mínimo valor cuadrático medio de d(n) basada en las observaciones de x(n) hasta el instante n. De igual manera, representa la estimación de d(n-1) en sentido de mínimo valor cuadrático medio, constituida por las medidas de x(n) hasta el instante n-1.
    Una vez obtenido  y antes de observar el próximo valor de x(n), podemos predecir el valor que debería tener d(n). A partir de la ecuación d(n) = 0.8 d(n-1) + w(n), puesto que w(n) es un proceso de media cero, la estimación debería ser 0.8.

    Dado que x(n) = d(n) + v(n), si utilizamos el valor de esta predicción, podremos predecir la próxima medida de x(n)
    Pero esta estimación no será perfecta, y a la llegada de x(n), seremos capaces de calcular el error introducido
    Este error se denomina la innovación del proceso, y representa la nueva información que aparece con x(n). Es decir, a(n) indica la parte de x(n) que no puede predecirse.
    Por último, para obtener la estimación debemos añadir esta parte de innovación escalada por un factor de ganancia (denominada ganancia de Kalman).